pada kesempatan kali ini saya akan mencoba sekilas membahas tentang apa itu metode iterative.
Metode iterative merupakan suatu metode penyelesaian suatu persamaan
atau persoalan matematika yang menggunakan iterasi dengan nilai awal
yang telah ditentukan untuk menghasilkan urutan atau rentetan solusi
untuk tiap permasalahan tersebut.
metode iterative ini biasa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan
yang melibatkan bilangan – bilangan yang sangat besar dan kompleks
dimana apabila dikerjakan dengan cara biasa akan sangat menyulitkan.
dengan menggunakan metode iterative ini dimaksudkan agar kita dapat
menyelesaikan permasalahan tersebut dengan cara yang lebih cepat dan
mudah serta membuat kita memahami hal yang kompleks tersebut menjadi
lebih simple.
adapun beberapa metode iterative yang ada adalah :
1. metode Jacobi
2. metode Gauss-Seidel
3. metode SOR (Succesive Over Relaxation)
4. Metode False position
5. Metode Newton – Rhapson
6. Metode Secant
7. metode bisection
sebenarnya masih terdapat beberapa lagi metode lainnya, akan tetapi
metode lainnya merupakan penjabaran – penjabaran ataupun gabungan dari
metode yang telah ada.
1. metode jacobi
Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu bidang analisis numerik
yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linear dan
sering dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu. Metode Iterasi Jacobi
merupakan salah satu metode tak langsung, yaitu bermula dari suatu
hampiran penyelesaian awal dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran
dalam tak berhingga namun langkah konvergen. Metode Iterasi Jacobi ini
digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear berukuran besar dan
proporsi koefisien nolnya besar.
Metode ini ditemukan oleh matematikawan yang berasal dari Jerman,Carl
Gustav Jakob Jacobi. Penemuan ini diperkirakan pada tahun 1800-an.
Kalau kita mengubah dalam Sistem Persamaan Linear, maka dapat ditulis sebagai berikut
Kemudian, diketahui bahwa
, di mana
merupakan matriks diagonal,
merupakan matriks segitiga bawah, dan
merupakan matriks segitiga atas.
Kemudian, persamaan di atas dapat diubah menjadi :
Kemudian,
Jika ditulis dalam aturan iteratif, maka metode Jacobi dapat ditulis sebagai :
di mana
merupakan banyaknya iterasi. Jika
menyatakan hampiran ke-
penyelesaian SPL, maka
adalah hampiran awal.
sumber :
http://id.wikipedia.org/wiki/Metode_Jacobi
2. metode Gauss-Seidel
Metode Gauss-Seidel digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan
linear (SPL) berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar,
seperti sistem-sistem yang banyak ditemukan dalam sistem persamaan
diferensial. Metode iterasi Gauss-Seidel dikembangkan dari gagasan
metode iterasi pada solusi persamaan tak linier.
Teknik iterasi jarang digunakan untuk menyelesaikan SPL berukuran kecil
karena metode-metode langsung seperti metode eliminasi Gauss lebih
efisien daripada metode iteratif. Akan tetapi, untuk SPL berukuran besar
dengan persentase elemen nol pada matriks koefisien besar, teknik
iterasi lebih efisien daripada metode langsung dalam hal penggunaan
memori komputer maupun waktu komputasi. Dengan metode iterasi
Gauss-Seidel sesatan pembulatan dapat diperkecil karena dapat meneruskan
iterasi sampai solusinya seteliti mungkin sesuai dengan batas sesatan
yang diperbolehkan.
contoh persoalan metode gaus :
2×1 + 3×2 + 5×3 = 23
3×1 + 4×3 + x3 = 14
6×1 + 7×2 + 2×3 = 26
Formula :
3. metode SOR (Succesive Over Relaxation)
Dalam aljabar linear numerik , metode Succesive Over Relaxation (SOR)
adalah varian dari metode Gauss-Seidel untuk memecahkan sistem
persamaan linier yang digunakan untuk mecapai konvergensi lebih cepat.
Formula :
dimana:
Maka
A dapat diuraikan menjadi diagonal
D komponen, dan komponen
L dan
U:
dimana
Sistem persamaan linier dapat ditulis kembali sebagai:
untuk
ω konstan> 1.
maka
bentuk segitiga
(D +
ωL), unsur-unsur dari
x (k +1) dapat dihitung secara berurutan menggunakan subtitusi :
kelebihan : metode umum dan mudah dimengerti
kekurangan : keakurasian data dan nilai konvergensi tidak dapat dipastikan
4. Metode False position
Metode False Postion adalah istilah untuk metode pemecahan masalah
pada aljabar dan kalkulus. Simplenya, metode ini dimulai dengan mencoba
mengeavluasi masalah dengan uji nilai (false) untuk variabel, dan juga
mengatur nilai yang sesuai. Dalam aljabat, metode False Position
biasanya juga mengarahkan kepada basic metode trial dan error pemecahan
persamaan, dengan uji nilai subtitusi untuk variabel dalam persamaan.
Denga persamaan sebagai berikut :
Kelebihan metode ini : konvergen terjamin
Kekurangan metode ini : juga lambat dalam proses konvergen
5. Metode Newton – Rhapson
Dalam analisis numerik, metode Newton ( merupakan metode yang paling
dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi riil. Metode Newton
sering konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai “cukup
dekat” dengan akar yang diinginkan. Namun bila iterasi dimulai jauh dari
akar yang dicari, metode ini dapat meleset tanpa peringatan.
Implementasi metode ini biasanya mendeteksi dan mengatasi kegagalan
konvergensi.
Diketahui fungsi ƒ(x) dan turunannya ƒ ‘(x), kita memulai dengan tebakan pertama, x0 . Hampiran yang lebih baik x1 adalah
Misalkan ƒ : [a, b] → R adalah fungsi terturunkan yang terdefinisi
pada selang [a, b] dengan nilai merupakan bilangan riil R. Rumus untuk
menghampiri akar dapat dengan mudah diturunkan. Misalkan kita memiliki
hampiran mutakhir xn. Maka kita dapat menurunkan hampiran yang lebih
baik, xn+1 dengan merujuk pada diagram di kanan. Kita tahu dari definisi
turunan pada suatu titik bahwa itu adalah kemiringan garis singgung
pada titik tersebut, yaitu:
Di sini, f ‘ melambangkan turunan fungsi f. Maka dengan aljabar sederhana kita mendapatkan
Kita memulai proses dengan nilai awal sembarang x0. Metode ini
biasanya akan mengerucut pada akar, dengan syarat tebakan awal cukup
dekat pada akar tersebut, dan bahwa ƒ'(x0) ≠ 0.
6. Metode Secant
Sama seperti metode newton-raphson, metode secant adalah salah satu
dari metode numerik untuk mencari solusi persamaan dari sebuah fungsi.
Metoda secant merupakan salah satu metoda yang digunakan untuk
mencari nilai akar dari persamaan y=f(x). Metoda ini dapat dipahami
dengan menggunakan bantuan model segitiga dalam penyelesainnya seperti
berikut, dengan X0 dan X1 merupakan batas yang dijadikan acuan awal
untuk mencari nilai X yang sebenarnya :
Misalkan dengan menggunakan gambar ilustrasi di atas kita dapat
mengambil persamaan dari sifat segitiga sebangun sebagai berikut :
dimana :
BD = f(x1)
BA = x1-x0
CD = f(x1)
CE = x1-x2
Dan jika dirubah, rumusnya akan menjadi :
Dari rumus di atas bisa kita lihat bahwa yang dicari adalah Xn+1,(
Xn+1) ini merupakan nilai X yang dicari sebagai pendekatan terhadap
nilai X yang sebenarnya seperti untuk nilai X2 kemudian X3 pada gambar
dibawah, semakin lama nilai Xn+1 akan mendekati titik X yang sebenarnya.
Jika perhitungan di atas terus dilakukan maka pada akhirnya akan di
dapat nilai X yang paling mendekati dengan jumlah eror dan iterasi yang
bisa kita tentukan sesuai dengan flowchart algoritma di bawah.
gambar dibawah merupakan grafik yang terbentuk dari persamaan Y =
f(x), maka untuk mencari titik X pada titik Y=0 rumus secant yang telah
kita turunkan tadi bisa langsung digunakan disini.
jika kita melihat grafik diatas kita dapat memperkirakan bahwa X yang
akan kita cari berada di antara titik X=0,8 dan X=0,9. maka dua titik
ini bisa dijadikan batas untuk mencari nilai X yang kita cari.
setelah melakukan iterasi sebanyak tiga kali maka kita akhirnya
menemukan nilai X = 0882543 yang merupakan pendekatan terhadap akar dari
Y=f(x).
7. metode bisection
Metode Bisection atau disebut juga dengan metode bagi dua merupakan
salah satu jenis metode pencarian instrumental dimana selang/range
selalu dibagi dua atau membagi range menjadi 2 bagian.Ide
awal metode ini adalah metode table, dimana suatu area dibagi menjadi N
bagian. Pada Metode Bisection ini jika suatu fungsi berubah tanda pada
suatu selang, maka nilai fungsi dihitung pada titik tengah, kemudian
lokasi akar ditentukan sebagai titik tengah selang bagian terjadinya
perubahan tanda.
>>Prinsip dari Metode Bisection adalah :
– membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian
mana yang mengandung akar dan membuang bagian yang tidak mengandung
akar. Hal ini dilakukan berulang -ulang hingga diperoleh akar persamaan.
Berikut adalah langkah-langkah dalam menyelesaikan Metode Bisection (metode bagi dua), yaitu :
– Langkah 1 : Pilih a sebagai batas bawah dan b sebagai batas atas untuk
taksiran akar sehingga terjadi perubahan tanda fungsi dalam selang
interval.
– Langkah 2 : Taksiran nilai akar baru yaitu c diperoleh dari :
Atau perumusan akar dengan
– Langkah 3 : Menentukan daerah yang berisi akar fungsi:
* Jika |f(c)| ≤ toleransi, maka harga c adalah harga x yang dicari, bila tidak dilanjutkan ke tahap 4.
– Langkah 4 :
Jika f(c) > 0, maka a baru = a dan b baru = c, sehingga daerah akar fungsi a < x < c
Jika f(c) < 0, maka a baru = c dan b baru = b, sehingga daerah akar
fungsi c < x < b. Kmudian kembali ke tahap 2 tadi.
Kelebihan metode ini : Sangat Simple, konvergen terjamin
Kekurangan metode ini : proses converge lamban.
sumber : https://randywicaksono.wordpress.com/2012/03/29/metode-iterative/